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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
i) in=nn+1−ni_{n}=\frac{n}{\sqrt{n+1}-n}

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

lim⁡n→+∞nn+1−n \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n}

Atenti que, a diferencia de los items anteriores, ahora la indeterminación "infinito menos infinito" está en el denominador, pero no pasa nada, multiplicamos y dividimos por el conjugado como siempre! O sea, nos queda así:

lim⁡n→+∞nn+1−n⋅n+1+nn+1+n \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+n}{\sqrt{n+1}+n} Ahora la diferencia de cuadrados nos quedó en el denominador, nos termina quedando: lim⁡n→+∞n(n+1+n)n+1−n2 \lim_{n \to +\infty} \frac{n(\sqrt{n+1}+n)}{n+1-n^2} Hacemos la distributiva en el numerador... lim⁡n→+∞nn+1+n2n+1−n2 \lim_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{n+1}+n^2}{n+1-n^2} Sacamos factor común n2 n^2 en el numerador y en el denominador: lim⁡n→+∞n2(n+1n+1)n2(−1+1n+1n2)= lim⁡n→+∞(n+1n+1)(−1+1n+1n2) \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{n^2(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}

En un cálculo auxiliar resolvemos este límite

lim⁡n→+∞n+1n \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n}

Sacamos factor común adentro de la raíz, distribuimos...

lim⁡n→+∞n(1+1n)n=lim⁡n→+∞n(1+1n)n \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n (1+\frac{1}{n})}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ \sqrt{n} \sqrt{(1+\frac{1}{n})}}{n}

Usando propiedades de potencias nos queda...

lim⁡n→+∞(1+1n)n=0 \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{(1+\frac{1}{n})}}{\sqrt{n}} = 0

Entonces, volvemos a nuestro límite:

lim⁡n→+∞(n+1n+1)(−1+1n+1n2)=−1\lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = -1
Por lo tanto, el límite es: lim⁡n→+∞nn+1−n=−1 \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} = -1

Dato de color: Este ejercicio lo tengo resuelto en mi canal de YouTube y siento que ahí lo expliqué por un camino medio enredado, lo volví a ver hace poco y no me gustó el camino que usé jajaja creo que se entiende mucho más así 💛 
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Renato
2 de mayo 21:45
Buenas noches profe. Consulta, porque no logro encontrar el por que a mi me queda 1 y a vos -1.
0 Responder
Flor
PROFE
2 de mayo 23:02
@Renato Hola Renato! Fijate que cuando llegamos a esta parte:

lim⁡n→+∞(n+1n+1)(−1+1n+1n2)=−1\lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = -1

El numerador tiende a 11 (porque nos quedó esa cosa que vimos que tiende a 00 en el cálculo auxiliar + 1, así que el numerador tiende a 11) y el denominador ojo porque tiende a −1-1 (cuando sacás factor común n2n^2 atenti que adentro del paréntesis te queda un −1-1 ahí). Entonces 11 dividido −1-1, te queda −1-1 :)
0 Responder
Benjamin
19 de abril 15:50
Hola flor, que tal, gracias por las guias y tus ayudas! Tengo una duda, por que o cual es la propiedad en donde la raiz de n sobre n (sin raiz), "tacha" y saca a nuestro numerador, que era la raiz de n, y deja a nuestro denominador que antes no tenia raiz, pero que ahora si.
0 Responder
Flor
PROFE
20 de abril 8:16
@Benjamin Esta te la respondí recién en otro comentario, pero la dejo copiada acá también por si alguien anda dando vueltas y también le sirve:

Esto también es por reglas de potencias, mirá:

nn=n1/2−1=n−1/2=1n1/2=1n\frac{\sqrt{n}}{n} = n^{1/2 - 1} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{n}}
0 Responder
Benjamin
24 de abril 17:24
Graciasss
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