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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
i) $i_{n}=\frac{n}{\sqrt{n+1}-n}$

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n}$

Atenti que, a diferencia de los items anteriores, ahora la indeterminación "infinito menos infinito" está en el denominador, pero no pasa nada, multiplicamos y dividimos por el conjugado como siempre! O sea, nos queda así:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+n}{\sqrt{n+1}+n} $ Ahora la diferencia de cuadrados nos quedó en el denominador, nos termina quedando: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n(\sqrt{n+1}+n)}{n+1-n^2} $ Hacemos la distributiva en el numerador... $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{n+1}+n^2}{n+1-n^2} $ Sacamos factor común \( n^2 \) en el numerador y en el denominador: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{n^2(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} $

En un cálculo auxiliar resolvemos este límite

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n}$

Sacamos factor común adentro de la raíz, distribuimos...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n (1+\frac{1}{n})}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{ \sqrt{n} \sqrt{(1+\frac{1}{n})}}{n} $

Usando propiedades de potencias nos queda...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{(1+\frac{1}{n})}}{\sqrt{n}} = 0$

Entonces, volvemos a nuestro límite:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = -1$
Por lo tanto, el límite es: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}-n} = -1 $

Dato de color: Este ejercicio lo tengo resuelto en mi canal de YouTube y siento que ahí lo expliqué por un camino medio enredado, lo volví a ver hace poco y no me gustó el camino que usé jajaja creo que se entiende mucho más así 💛 
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Avatar Luca 8 de mayo 22:31
buenas! yo una vez que saqué factor común n cuadrado arriba y abajo, arriba lo dejé como 1/n por raiz de n+1. entonces no hice el límite auxiliar, sino que 1/n va a 0 y la raíz no importa, total se cancela con el 0 ese. y queda 1/-1= -1. está bien igual?


Avatar Flor Profesor 9 de mayo 09:15
@Luca Hola Luca! O sea, a vos te quedó escrito así:

$\frac{1}{n} \cdot \sqrt{n+1}$ 

?

Ojo, porque en ese caso vos ahí tenés lo primero que tiende a cero, multiplicando a lo otro que tiende a infinito -> Y algo que tiende a cero multiplicado por algo que tiende a infinito es una indeterminación 😅 Vas a ver que acá en sucesiones no nos aparece tanto la "cero x infinito", pero más adelante en las próximas prácticas cuando tengamos límites de funciones empieza a aparecer más 

Ahí está el tema entonces con tu razonamientooo, que no siempre es cierto que algo que tiende a cero por algo que tienda a infinito da cero, podría dar otra cosa, es una indeterminación... justo en este caso si da cero, pero hay que justificarlo (y una manera de hacerlo es como mostraba arriba, a partir de la indeterminación inf / inf sacando factor común adentro de la raíz y eso)
Avatar Román 26 de abril 15:28
Buenas tardes profe. Estuve realizando el ejercicio con un procedimiento similar pero con unos ligeros cambios y aparentemente no me va a dar -1, ya que los números de abajo tienden a 0. Y no capto en que parte del procedimiento fallé como para que no me de el resultado pedido.
2025-04-26%2015:26:39_3772271.png

Avatar Román 26 de abril 15:30
2025-04-26%2015:30:05_6379643.png
Reenvio la imagen pero con mejor calidad
Avatar Flor Profesor 26 de abril 18:02
@Román Hola Román! Primero, muchas gracias por resubir la imagen para que se vea mejor, me vino re bien 😍 Tranqui que lo que te pasó es un error super común al principio, asi que buenisimo que ya lo hayamos detectado desde ahora que falta todavía para el parcial... Mirá, el tema está en este paso:

2025-04-26%2017:58:27_7565197.png

Cuando vos tenés sumas / restas en numerador / denominador, no podés simplificar. Te lo llevo a otro ejemplo, si vos tenés ponele

$\frac{2x+1}{2x}$

esos $2x$ no los podés simplificar, porque lo tenés sumando a otra cosa en el numerador. 

Lo mismo si tuvieras

$\frac{x}{x+3}$

Esas $x$ tampoco las podés simplificar, porque en el denominador a $x$ la tenés sumando a otra cosa cosa. 

En cambio, si tenés

$\frac{2x(1+x)}{2x}$

ahora si a esos $2x$ los podés simplificar, porque en el numerador ahora el $2x$ está multiplicando a todo el resto

Si hasta ahi va quedando claro, es por eso que no podemos simplificar ahi esos $n^2$ y tenemos primero que sacarlo factor común (como hice yo en la resolución). Fijate que, en cuanto lo sacamos factor común, ahi ya nos quedó multiplicando en el denominador y ahora si lo podemos simplificar. En esta parte ->

2025-04-26%2018:01:46_3508029.png

Avisame si ahi quedó más claro! :)
Avatar Renato 2 de mayo 21:45
Buenas noches profe. Consulta, porque no logro encontrar el por que a mi me queda 1 y a vos -1.
Avatar Flor Profesor 2 de mayo 23:02
@Renato Hola Renato! Fijate que cuando llegamos a esta parte:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+1)}{(-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = -1$

El numerador tiende a $1$ (porque nos quedó esa cosa que vimos que tiende a $0$ en el cálculo auxiliar + 1, así que el numerador tiende a $1$) y el denominador ojo porque tiende a $-1$ (cuando sacás factor común $n^2$ atenti que adentro del paréntesis te queda un $-1$ ahí). Entonces $1$ dividido $-1$, te queda $-1$ :)
Avatar Benjamin 19 de abril 15:50
Hola flor, que tal, gracias por las guias y tus ayudas! Tengo una duda, por que o cual es la propiedad en donde la raiz de n sobre n (sin raiz), "tacha" y saca a nuestro numerador, que era la raiz de n, y deja a nuestro denominador que antes no tenia raiz, pero que ahora si.
Avatar Flor Profesor 20 de abril 08:16
@Benjamin Esta te la respondí recién en otro comentario, pero la dejo copiada acá también por si alguien anda dando vueltas y también le sirve:

Esto también es por reglas de potencias, mirá:

$\frac{\sqrt{n}}{n} = n^{1/2 - 1} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$
Avatar Benjamin 24 de abril 17:24
Graciasss
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